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W. KAPTEYN. 



§ 2. En second lien, je m'occuperai des intégrales qu'on déduira 

 aisément de Y équation 



. m — n 



nn — - — 77 



(6) { I Hll^dt = - — in,^ 



J t 7T m L — vr 



(Acad. d. Sciences d'Amsterdam. Juin 1901). En désignant le second 

 membre de cette équation par M x on voit que 



m — n étant pair on aura M x = 0 



m — n étant nul „ M l =^- 



. m — n 



m — n étant impair „ M* = , =— . 



TV m L — n 



Proposons nous maintenant d'évaluer les intégrales 



00 

 0 



p étant un nombre entier positif. 



Pour y arriver, partons de l'équation 



d r y dl m T d Jn\\ m 2 —n 2 

 dll\ ln dt ~~ im dt)\~ t ±mln ' 



En posant I n — I m ~y = U et divisant par l p on aura 

 dt dt 



1 ^ f TT-l\ Il i\ ^ m ^ n 



— (Ut) = im z — n £ ) r 



tP dt K 1 v ; tP + l 



d'où, en intégrant entre les limites 0 et co ; 



00 00 00 



O O 0 



Or, on sait que 



