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J. CARDINAAL. 



conditions sont susceptibles d'un grand nombre de variations, sources 

 de nouveaux problèmes. Parmi ces ensembles, il en est un qui mérite 

 une attention particulière et qui fait l'objet de ce travail. 



4. Reprenons la donnée originale : quatre torseurs a, b, c, d, déter- 

 minent un complexe dont chacun des torseurs qui le composent jouit 

 de la propriété de pouvoir être un axe autour duquel le mouvement 

 est possible. Mais ce complexe contient évidemment le système de 

 torseurs donné par a, b, c. En supposant le complexe construit, on peut 

 à volonté choisir trois torseurs et un système du troisième ordre s'en 

 déduit de nouveau; en procédant de cette manière, on obtient les divers 

 systèmes de torseurs qui, respectivement, déterminent un mouvement à 

 trois degrés de liberté. Cela nous mène à la détermination de tous ces 

 systèmes contenus dans le complexe et à la résolution des problèmes 

 suivants : 



Premier problème. Etant donné le complexe quadratique de torseurs, 

 construire les différents systèmes du troisième ordre contenus dans ce 

 complexe. 



Deuxième problème. Construire le système du troisième ordre comme 

 intersection de deux complexes. 



Troisième problème. Etant donné le complexe, représenter géométri- 

 quement un système du troisième ordre au moyen de la méthode de 

 Caporali. 



5. Premier problème. D'après les recherches de Ball, chaque système 

 de torseurs du troisième ordre constitue une congruence du troisième 

 ordre et de la seconde classe qu' on désigne par le symbole (3, 2). Les tor- 

 seurs à paramètre donné constituent un système de génératrices rectilig- 

 nes d'un hyperboloïde, et tous ces hyperboloïdes sont coaxiaux et ont, 

 de plus, en commun quatre points imaginaires dans le plan à l'infini. 

 Les trois axes de l'ensemble des hyperboloïdes sont de même des 

 torseurs. 



L'équation du système en coordonnées cartésiennes est '• 



(p a -k)cc* + (p b - k) f + (p c -k)z* + 



(fa — k) [p b — k) {p c — k) = 0 



oîip a , Pb } Pc sont les paramètres des axes; k est un paramètre variable, 



