SUR LES CONGRUENCES, ETC. 119 



chaque valeur de h donne un hyperboloïde. Tâchons maintenant de 

 construire une des congruences (3, 2) comprises dans le complexe. 



Soit S 3 le cylindroïde réciproque, d sa ligne nodale, r son plan prin- 

 cipal. Dans le plan r se trouvent deux génératrices perpendiculaires 

 m t et m 2 à paramètre maximum et minimum et la parabole des torseurs 

 dans t dégénère en deux faisceaux de torseurs parallèles, respectivement 

 perpendiculaires à m l et m 2 . Prenons dans r un point arbitraire M 

 comme sommet d'un cône (M) de torseurs. Une des génératrices de ce 

 cône est parallèle à d, deux autres sont les perpendiculaires de M sur 

 mi et m 2 ; comme le cône possède un triple orthogonal de génératrices, 

 il en possède une infinité et sera un cône équilatère, ce qui nous mène 

 au théorème : Les cônes de torseurs à sommets situés dans le plan prin- 

 cipal du cijlindroïde sont des cônes équilatères. 



Choisissons maintenant sur le cône [M) un triple orthogonal a, b, c, 

 dont aucune des arêtes ne se trouve dans le plan r. D'après ce qui 

 précède, a, b, c sont les axes d'un système d'hyperboloïdes, dont les gé- 

 nératrices constituent la congruence (3, 2). Afin d'en construire un, on 

 observera que les génératrices d'un hyperboloïde doivent posséder le 

 même paramètre h, ce qui entraîne qu'elles sont des transversales de 

 deux génératrices conjuguées de # 3 , h et M '. Chaque couple de géné- 

 ratrices conjuguées de S 3 est donc un couple de directrices d'un hyper- 

 boloïde à centre donné et à axes connus quant à leur direction, cet 

 hyperboloïde est donc déterminé. En parcourant tous les couples, on 

 obtiendra la congruence (3, 2), et on arrive aux conclusions suivantes : 



a. Chaque triple orthogonal du cône (M) constitue les axes communs 

 à un système d'hyperboloïdes; les génératrices de ces hyperboloïdes 

 sont les rayons d'une congruence. (3, 2) de torseurs. 



b. Comme il y a c© 2 cônes à sommet situé dans r et que chaque cône 

 possède go triples, le nombre des congruences contenues dans le com- 

 plexe de torseurs est de ce 3 . 



6. Deuxième problème. Les relations qui lient les congruences (3, 2) de 

 torseurs au cylindroïde /S' 3 ne deviennent complètement connues que 

 lorsqu'on considère une de ces congruences comme l'intersection 

 de deux complexes de torseurs. Le cylindroïde S 3 est réciproque d'un 

 de ces complexes; déterminons ]e cylindroïde $, 3 qui est réciproque du 

 second. 



Soient a, b, l un triple d'arêtes orthogonales appartenant à un cône 



