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équilatère (M) ; a et h seront deux axes d'un système d'hyperboloïdes, 

 éléments de la congruence (3, 2). Le troisième axe l est perpendiculaire 

 à une génératrice p de # 3 qu'elle coupe en un point P, et p est 

 la perpendiculaire commune de l et de d. Dans un plan à perpendicu- 

 laire à 1, et qui passe par conséquent par p, se trouvent deux torseurs 

 p et q de la congruence (3, 2): comme ils sont réciproques par rapport 

 à # 3 et que le cône de torseurs à centre P dégénère en deux plans dont 

 l'un est perpendiculaire kp, un des deux torseurs situés dans A, p par exem- 

 ple, est perpendiculaire à p. Quand on veut obtenir le second cylin- 

 droïde S x 3 , on peut donc supposer qu' une de ses génératrices est de 

 même perpendiculaire à p , passe par le point F et est située dans le 

 plan À, ce qui nous mène au théorème ; Quand on considère la congru- 

 ence (3, 2,) comme l'intersection de deux complexes quadratiques, la per- 

 pendiculaire commune aux lignes nodales des deux cijlindroïdes récipro- 

 ques des complexes est une génératrice commune à ces deux cylindroides. 



On voit bien maintenant pourquoi le caractère de l'intersection des 

 deux complexes est (3, 2) au lieu de (4, 4). Les torseurs dans le plan à 

 l'infini forment une congruence (0, 1) et les torseurs perpendiculaires 

 à p une congruence (1, ] ) ; il se détachent de la congruence (4, 4) et 

 lui donnent le caractère (3, 2). 



7. Troisième problème. Tâchons maintenant de représenter géométri- 

 quement la congruence (3, 2), et résumons d'abord les notations comme 

 elles ont été données dans les travaux cités. 



Soient encore S 3 le cylindroïde situé dans l'espace E, a et a deux 

 de ses génératrices conjuguées; prenons sur la génératrice a un point A 

 comme foyer du plan A a = a. Le plan » et son foyer A déterminent 

 un système linéaire du troisième ordre composé de complexes 

 linéaires de torseurs; à chaque complexe linéaire correspond un plan 

 dans l'espace à chaque torseur un point. La courbe de base de ]a 

 représentation se compose de deux coniques K^ 1 et K u 2 se coupant en 

 deux points imaginaires, et d'une droite k 1 coupant K c i 2 dans le point 

 Bd et K u 2 dans le point D H . La courbe de base est le lieu géométrique 

 des points de 2, images non seulement d'un torseur mais d'un faisceau 

 de torseurs. Cela posé, la courbe de base jouit des propriétés suivantes : 



a. La conique K c i 2 dans le plan ^ est le lieu des points, images des 

 faisceaux de torseurs ayant avec le faisceau {A, a) un torseur en com- 

 mun et dont les plans sont parallèles à la droite nodale d. 



