SUR LES CONGRUENCES, ETC. 



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b. La conique K H 2 clans le plan ù i est le lieu des points, images des 

 faisceaux de torseurs ayant avec le faisceau {A, a) un torseur en com- 

 mun et se composant de torseurs parallèles. 



c. La droite l\ = Da Du est le lieu des points, images des faisceaux 

 de torseurs dont le centre se trouve sur a et dont le plan passe par a. 



Les plans ^ et v x sont respectivement les lieux des points, images 

 des torseurs parallèles à d et de ceux dans le plan à l'infini. 



8. Comme une congruence se compose de co 2 rayons, les images des 

 congruences (3, 2) sont des surfaces dont on doit examiner les particu- 

 larités. Cherchons d'abord Tordre de la surface image. 



Soit l x une droite quelconque dans l'espace Z 1 ; elle est l'image d'une 

 surface cubique R 3 dans S dont la droite nodale l passe par A, tandis 

 que la directrice simple V est située dans le plan oc. En examinant de 

 plus près la nature de cette surface, on observera que tous les torseurs 

 parallèles à l se trouvent dans un plan passant par la génératrice de S\ 

 dont la direction est perpendiculaire à l; ce plan coupe /' en un point 

 L; R 3 contient donc seulement une génératrice parallèle à ï } l'autre se 

 trouve dans le plan à l'infini. 



Construisons maintenant les torseurs qui coupent l et V et sont ré- 

 ciproques du second cylindroïde 8 X 3 . Comme ces torseurs appartiennent 

 à un complexe quadratique, ils engendreront une surface réglée R l du- 

 quatrième ordre, aux droites nodales l et l' . Les surfaces R 3 et R^ 

 possèdent en général six génératrices communes; d'après ce qui précède, 

 une d'elles se trouve dans le plan à F infini ; ensuite les torseurs du fais- 

 ceau (A, a) sont respectivement perpendiculaires aux génératrices de S 3 ; 

 une d'elles est donc perpendiculaire à la génératrice commune de $ 3 et 

 de S y 3 . Parmi les six torseurs communs à R 3 et R^ il y en a donc 

 quatre qui appartiennent à la congruence (3, 2). 



Il s'ensuit: 



La droite l { a quatre points en commun avec la surface image de la 

 congruence (3, 2). Cette surface est donc une surface S 1 4 du quatrième 

 ordre. 



9. Cherchons le rôle que joue dans cette surface S t 4 la courbe de 

 base de la représentation, et, à cet effet, imaginons-nous que la droite 

 J x coupe la conique K d 2 en un point. La surface correspondante R 3 

 subira évidemment une transformation dont on devra se rendre compte. 



