SUR LES OONGRUENCES, ETC. 



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faisceau m c. Les torseurs communs appartenant à la congruence (3, 2) 

 sont donc au nombre de trois. On en déduit: 



La droite l x qui a un point en commun avec la conique K n 2 coupe 

 encore la surface S t 4 en trois points. La conique K u 2 est donc une 

 conique simple de S 1 i . 



11. Considérons enfin dans E, une droite qui coupe l\. On donne 

 encore à V une position arbitraire dans le plan a; par le point C où 

 elle coupe la génératrice a on mène le plan C a. Chaque droite l pas- 

 sant par A et située dans ce plan détermine avec V les deux directrices 

 d'une surface réglée R 2 , qui sera du second degré/ puisque le plan C a 

 se détache de R 3 . Parmi les quatre torseurs communs à R 2 et R^, le 

 torseur à l'infini n'appartient pas à la congruence (3, 2); le torseur 

 perpendiculaire à p appartient au faisceau C a ; on aura donc trois tor- 

 seurs communs à R k et R 2 , ce qui donne en S A trois points d'intersec- 

 tion avec S i 4 non situés sur k l . La droite Jc x est donc une droite 

 simple de S t 4 . 



On déduit maintenant des considérations précédentes la conclusion 

 générale : 



Les images des oo 3 congruences (3, 2) de torseurs appartenant au 

 complexe réciproque de S 3 sont co 3 surfaces du quatrième ordre à co- 

 nique double. La conique double est K c i 2 ; la conique K u 2 et la droite 

 h x font partie de toutes les surfaces. 



12. Une analyse détaillée de la surface S { 4 dépasserait certainement 

 le but de cette communication; nous nous contenterons donc de quel- 

 ques remarques sur quelques intersections particulières et enfin nous 

 examinerons un cas particulier. 



D'après les travaux cités, les images des hyperboloïdes qui consti- 

 tuent une congruence (3, 2) sont des coniques coupant respectivement 

 en deux points les coniques de base Ko 1 et K u 2 . Ces coniques sont les 

 intersections partielles de la surface 8 i 4 avec des plans bitangents. La 

 théorie des surfaces du quatrième ordre à conique double nous apprend 

 en outre que ces plans bitangents peuvent encore avoir des positions 

 particulières, qui sont causes qu'une conique dégénère en deux droites. 



Examinons maintenant les cas particuliers des hyperboloïdes qui y 

 correspondent et reprenons à cet effet l'équation déjà employée (5). 



