124 J. CARDIN AÀL. 



13. Soit donc encore le système des hyperboloïdes donné par: 



(p a - k) ^ + ( Pb — k)f + (p c -k)zl + 



(pa—k) (p b — k) (p c — k) = 0 



et soit p a ^> pb > Pc 



Pour les cônes du système on trouve k = p a , h = pb, k = p c . 

 L'équation du système en coordonnées tangentielles devient: 



et la condition pour qu'une quadrique devienne une conique est de 

 même k =p a , h — pi>, & = Pc 



Posons k—pb) Y équation du système devient 



{pu —pb) œ 1 — (pp—pc) z 1 = 0 , 



ce qui prouve que la quadrique à paramètre p b dégénère en deux plans 

 passant par Taxe b. 



La même substitution dans la seconde équation donne deux points 

 sur Taxe b. 



Ce résultat est d'ailleurs évident par la géométrie, car Taxe b coupe 

 deux génératrices conjuguées b' et b" et détermine par conséquent deux 

 plans b b' et b b" ; dans chaque plan se trouve un faisceau de torseurs à 

 paramètre b, dont les centres sont les points b b' et b b" . 



La substitution k — p a , k ==p c conduit à deux autres couples de plans 

 qui Seront néanmoins imaginaires. 



Les considérations précédentes mènent à la conclusion que la coip 

 gruence (3, 2) de torseurs possède un caractère particulier, puisque la 

 congruence générale (3, 2) contient dix plans à faisceaux de rayons et 

 cinq plans à rayons enveloppes de coniques; d'ailleurs les quadriques 

 qui constituent une congruence (3, 2) auront quatre points et huit 

 plans tangents en commun. 



14. La recherche des images des quadriques réglées et des faisceaux 

 de torseurs dans les couples de plans conduit aux conclusions suivantes: 



