LE THÉORÈME DE P OISEUX SUR LE PENDULE SPHÉRIQUE. 



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7T . siuoc s in (3 /v 7 



Or il est aisé de voir que la fonction réelle Q reste constamment po- 

 sitive. Soient 



z -f- cas a =r i e i <Pi, z + co* /3 == r 2 0» ^, 2 — £ = r 3 e> <P 3 , 

 z — 1 = r À & $4, z -f- 1 = r 5 e'< 4> 5 , 



d'où 



*^ ( $4 + $5 H ^ ) 



r r r \ 6 / 



Maintenant comme le chemin rectiligne 7/ 7 2 se trouve plus près 

 de -f- 1 que de — 1, plus près de — cas a, que de k, on a nécessaire- 

 ment les inégalités suivantes 



7T < + $ 2 + $ 3 < 2 7T, 



d'où Ton tire 

 c'est à dire 



Q>0. 



Il en résulte 



I < 2 



et le théorème de Puiseux est démontré. 



Pour avoir le théorème complémentaire obtenu par Halphen il suffit 

 de déformer encore le chemin d'intégration W 2 . En traversant le point 

 — |— 1 le chemin JF 2 se change en W Z) une courbe fermée entourant les 

 points 7c, -f- ce . 



Ainsi on a 



(z'>-l)f(z) 2 1 ' ^ — 

 w 2 w 2 



dz 



2 -i)f(zY 



