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P. H. SCHOUTE. 



déterminée par la condition que la seconde résultante soit située dans 

 un plan donné, on fait ressortir que le système des forces dépend de six 

 paramètres, chacune des deux résultantes dépendant de trois paramètres. 



Nous faisons mention de deux théorèmes connus pour en donner plus 

 loin une généralisation à l'espace R n ? le théorème de Chasles découvert 

 en 1828 et celui de Moebius qui date de 1837. D'après le premier tous 

 les tétraèdres, admettant comme couple d'arêtes opj)Osées deux forces 

 •pouvant remplacer un système donné de forces, ont même volume. Le 

 second forme la base de la théorie du système focal („l\ T ullsystem"), en 

 relation avec un système donné de forces: Si la première des deux 

 résultantes est menée par un point donné P, la seconde doit se trouver 

 dans un plan déterminé passant par P, le plan focal de P; réciproque- 

 ment, si la première des deux résultantes est soumise à la condition de 

 se trouver dans un plan donné tt, la seconde doit passer par un point 

 déterminé dé 7r, le point focal ou foyer de t. 



2. Le lemme, que nous venons de démontrer, s' étend à l'espace R n 

 sous la forme suivante: 



Dans R n un système donné de forces se réduit d'une seule manière a 

 une force passant par un point donné et un système de forces situé dans 

 un espace R n —\ donné ne contenant pas ce point. 



On le prouve en remplaçant dans la démonstration du lemme précé- 

 dent le plan t par l'esjjace R a ~-\. 



H extension indiquée nous permet de calculer immédiatement le nombre 

 p a des paramètres dont dépend le système des forces dans R n ; car elle 

 mène à la relation récurrente 



Pn = n + Pn-\> 



une force en un point donné de R n dépendant de n paramètres. A F aide 

 d'une quelconque des valeurs initiales connues 



Pi = h Ih == 3; Ps = 6 

 on trouve donc en général 



Pn = i n {n + 1). 



3. Examinons maintenant quel est le nombre minimum des forces, 

 capable de remplacer le système de forces le plus général dans R n . 



Commençons par le cas n = 4 et réduisons d'abord, d'après le lemme 

 démontré, le système donné de forces à une force a, passant par un point 



