SUR UN PROBLÈME DE MÉCANIQUE 



PAR 



GASTON DARBOUX. 



Dans son Mémoire sur quelques unes des formes les plus simples que 

 puissent présenter les intégrales des équations différentielles du mouve- 

 ment d'un point wMériel publié en 1857 au Journal de Mathématiques 

 pures et appliquées de Liouville, Joseph Bertrand aborde l'examen 

 d'une question de Mécanique que personne ne s'était posée avant lui. 

 Il remarque que si Ton commit une intégrale d'un problème de Méca- 

 nique pour lequel on sait seulement que ]es forces dépendent unique- 

 ment des coordonnées de leurs points d'application,, et nullement des 

 vitesses de ces points, on peut trouver quel est le problème et déter- 

 miner les composantes de la force qui sollicite chaque point. Bien plus, 

 l'intégrale supposée connue ne saurait être choisie au hasard et doit 

 satisfaire à certaines conditions. 



Pour déterminer ces conditions, Bertrand suppose que l'intégrale a 

 une certaine forme, par exemple qu'elle est entière ou rationnelle par 

 rapport aux vitesses. 



On sait combien cette idée s'est montrée féconde et quels progrès elle 

 a déterminés par exemple dans la théorie des lignes géodésiques. Ber- 

 trand, dans son mémoire, se contente de l'appliquer au mouvement 

 d'un point matériel dans un plan, et il étudie successivement les cas où 

 l'intégrale supposée connue est entière, du premier, du second ou du 

 troisième degré par rapport aux vitesses, ou bien est égale à une fraction 

 dont les deux termes soient du premier degré par rapport aux compo- 

 santes de la vitesse. 



Dans le cas où l'intégrale supposée connue est entière et du second 

 degré par rapport aux vitesses, Bertrand n'a fait qu'ébaucher la solu- 

 tion et l'a ramenée à dépendre d'une équation linéaire aux dérivées par- 



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