372 M. GASTON DARBOUX. 



tielles dont il n'a pas donné l'intégrale générale. C'est sur ce point par- 

 ticulier de ses recherches que je veux revenir aujourd'hui. 

 Etant données les équations différentielles du mouvement. 



(1) dt 2 ~ X dt 2 ~ 1 



où X et Y dépendent uniquement de x et de y, supposons que le pro- 

 blème de Mécanique ait une intégrale de la forme 



Px 2 + Que y' + Ri/ 2 -f Sy' + Tx + K= const. 



où x\ y désignent les composantes de la vitesse et P, Q, R, S, T, K 

 des fonctions arbitraires de x et de y. Bertrand établit facilement qu'en 

 laissant de côté le cas d'une force centrale, l'intégrale précédente doit 

 se réduire à la forme 



(%) a (yx — xi/' ) 2 + (bx + — xy) 



-\- ex 2 -f- c'y 2 -\- c x x'y -f- K = const. 



où a, b, V , c, c , c l désignent des constantes arbitraires. 



Puis supposant qu'il y ait une fonction des forces, c'est-à-dire que 

 l'on ait 



(3) x = 4- r = ^- 



ex ày 

 il montre que la fonction V doit satisfaire à l'équation suivante 



/ c )2 y d 2 V\ 



(4) +^x~^(^ 7 / 2 — ax 2 -\- by — b x -f- c — c) 



dxoy ' 



+ ~ (6 ay + 3 b) + (— 6 ax — S b) = 0 



qui est linéaire et aux dérivées partielles du second ordre. 



Bertrand se borne à en chercher les solutions qui sont de la forme 



0[(^-«) 2 + (y-/3) 2 ] 



et il retrouve ainsi les résultats donnés -par Euler et par Lagrange 



