374 M. GASTON DARBOUX. 



en évidence ce fait intéressant que les courbes caractéristiques de l'équ- 

 ation aux dérivées partielles forment deux familles de coniques hotno- 

 focales. 



Prenant donc comme nouvelles variables x et /3 les paramètres des 

 ellipses et des hyperboles homofocales, on aura, comme on sait, 



(9) x = y y = i V{oc 2 — c 2 ) {e 2 — $ 2 ) 



et Ton sera assuré que F équation à intégrer prendra la forme réduite 



d 2 V ~èV o V 



(10) Y^n + A Y- + B é =0 



où A et B seront certaines fonctions de a et de (3. On pourrait les ob- 

 tenir en effectuant sans artifice le changement de variables. On évitera 

 ce calcul en remarquant que l'équation en V admet les solutions par- 

 ticulières 



1 1 



Or on a par exemple 



1 



x 2 +f = ^ + F 



2 _n 



0C 2 [3 2 



Il suffira donc d'écrire que a 2 -f- (3 2 et — ^—^ sont des solutions de 



oc p 



Téquation (10) et Ton aura deux équations qui feront connaître A 

 et B. 



On trouve ainsi que l'équation à laquelle doit satisfaire V prend la 

 forme définitive 



(11) (/3 2 -* 2 ) _ +2/3-i -toc- =0 



oocd(o doc vp 



dont l'intégration se fait immédiatement et nous donne 



r(^-/3 2 ) = /V)-$(/3). 



On a donc pour V la valeur suivante 



