12) V 



SUR UN PROBLÈME DE MECANIQUE. 375 



,/V-)-0(/3) 



qui a été considérée par Lionville dans son beau Mémoire sur quelques 

 cas particuliers ou les équations différentielles du mouvement d "un, point 

 matériel peuvent s"* intégrer et Ton voit ainsi directement qu'en laissant 

 de coté les cas particuliers négligés par Bertrand, cette forme de la 

 fonction des forces est la seule pour laquelle on obtienne une intégrale 

 du second degré par rapport aux vitesses. 



Lionville a remarqué que la formule (12) comprend comme cas par- 

 ticulier la valeur suivante de V 



^ + 7 + 7 + 7 + ^ 



où A, A' , B, B ' , C sont des constantes, où r, /, p désignent respectivement 

 les distances aux deux foyers et au centre commun des ellipses homofocales. 

 Cette expression de V correspond au cas où le point matériel est soumis 

 1° à deux actions normales aux axes et en raison inverse du cube des 

 distances à ces axes 2° à l'action de deux centres fixes placés aux deux 

 foyers et agissant suivant la loi de Newton 3° à l'action d'un centre 

 fixe placé au centre commun des coniques homofocales et agissant pro- 

 portionnellement à la distance. Je ne sais si Ton a remarqué que l'on 

 peut joindre à toutes ces actions deux autres qui émanent des foyers 

 imaginaires des ellipses et qui agissent également suivant la loi de 

 Newtom . 



Les coordonnées de ces deux foyers étant données par les formules 

 x = 0 y = + ci 



Si Ton désigne par )\, r\ les distances à ces deux foyers imaginaires 

 on pourra prendre pour V Y expression 



(i3) r=4+-> + - + * + - + ël ï + Ci i 



£cr. y r r r t f\ 



et d'ailleurs cette expression de la fonction des forces sera réelle pourvu 

 que les constantes B X} B\ soient imaginaires conjuguées. 

 Comme on a 



