478 L. COHEN STUART. SUR UN CAS DE DISCONTINUITÉ. 



remplacer par un autre. Si l'on remarque que OE — bp est égal 

 à l'aire qui s'étend à l'infini â droite de b §' , et a a — 0 E égal 

 à l'aire qui s'étend à l'infini à gauche de au', on reconnaît que 

 a a — b (3 est égal à la somme des aires à droite de b §' et à 

 gauche de a a'; c'est-à-dire: 



f(-a)-f(b) = j f'(xjdx + f f(x)dx y 



b -oo 



expression pour laquelle on serait aisément tenté d'écrire: 



— a 



f(-a)-f(b)= jf'(x)dx (6,±^,-a). 



La possibilité, là où la différence des valeurs de l'intégrale 

 indéfinie perd sa signification ordinaire d'intégrale définie, défaire 

 apparaître cette différence de la manière indiquée, se présente 

 f dx 1 



fréquemment. De J — = — - H- const. on ne peut pas conclure 



1 -|-oo — 1 



Ç^- tÈ — 2 , mais on a bien 2 2=1 ( — _j- ( . 



J X 2 J X 2 J x 2 



— l—oo 



Chaque fois que pour toutes les valeurs de x < x x , on a j f(x) dx= 



. X 



f(x t ) — f (x) , et pour toutes les valeurs de x~>x 1 {x 2 ~>x 1 ), 



X 



j f (x) dx = f(x) — f(x 2 ), et que , en outre , f (— x) et f (x) 



x i 



tendent indéfiniment vers la même limite lorsqué x croît indéfi- 

 niment, — chaque fois qu'il en est ainsi, on a, en dépit de toute 

 rupture de continuité entre x x et x 2 : 



-f- ce x l 



f (*,) - fM = j r (x)dx+ j f(x)dx — (i) 



