M. Neuberg expose à la section ses recherches sur deux complexes 

 rectilignes du quatrième degré. 



i . Soient Ai A2 A3 A4 = T«, Bi B2 B3 B4 = T, deux tétraèdres 

 quelconques; nous désignerons par a,, Pi les plans de leurs faces 

 opposées à Ai, Bi. Une droite quelconque g rencontrant ces plans 

 en Ci, Di, nous représenterons par t, ^ les rapports anharmo- 

 niques des quaternes de points C1C.G3C4, DiD2D3D4,qui sont 

 égaux aux rapports anharmoniques des quaternes de plans 

 g{X,X,A,A,\ g{ByB2B,B,). 



Appelons complexe bitétraédral et désignons par L le complexe 

 des droites g telles que l'on ait î> = /y, l étant une constante. 

 L'égalité de définition peut encore prendre les formes 



(Cn G, G3 a) (Di a D4 D3) =\,g (Al A3 A,) . g (Bi B, B. B3) = \ ■ 



Le cas particulier de ^ = 1 est mentionné par R. Sturm dans sa 

 Linien géométrie, 1. 1, p. 67. Ce géomètre démontre que le complexe 

 est alors du quatrième degré et qu'il se décompose en un complexe 

 linéaire et un complexe cubique lorsque T„, Tj, sont des tétraèdres 

 de Môbius. 



2. Le raisonnement suivant pour trouver le degré de L corres- 

 pond par voie de dualité à celui de R. Sturm. 



Lorsqu'une droite p tourne autour de l'un de ses points P de 

 manière que le rapport anharmonique /^(AiAaA, A^) garde une 

 valeur constante m, elle engendre un cône quadralitiiie K„ ; lors(|ni' 

 le rapport /) (Bi B2 B3 B.,) conserve la valeur /m. )> t'iigcmliv mi 

 cône quadratique K*. Les génératrices communes ;'i ces i.\eu\ (•ôiii'> 

 appartiennent évidemment au complexe L. Kaisoiis mainicnaiit 

 varier et coupons les cônes par un plan k mené par I'; soient 

 a, a' les génératrices de K„ cl b, h' et celles de K,, situées dans le 

 plan iT. 11 existe entre le faisceau de droites «, n' et celui de A, l> 

 une correspondance 2) ; les quatre coïncidences de icllc corres- 

 pondance appartiennent au complexe L, lequel, pur' ( oii^i'qiiciil, 

 est du quatrième degré. 



