système (2) (3) (A) définit, par élimination des variables auxiliaires 

 et une fonction de x, y, z, u ; mais la réciproque n'est pas 

 toujours vraie : on ne peut pas toujours faire correspondre à une 

 équation (J) un système équivalent, tel que (2) (3) (4). 



La recherche des conditions nécessaires et sulTisantes pour 

 l'existence du système (2) (3) (4) nous donnera le moyen de former 

 aisément ce système, lorsque le problème est possible. 



(-onsidérons une fonction v telle que le problème soit possible,, 

 et supposons qu'on en ait trouvé la solution sous forme d'un 

 système (2) (3) (4). 



Par hypothèse, la fonction v définie par l'équation (1) est iden- 

 tique à la fonction v définie par le système (2) (3) (4). Il en est de 

 même pour les dérivées partielles de î' déterminées soit par (i), 

 soit par (2) (3) (4). On aura donc 



(Ui^ dt^ dt, 

 ^dt/ dt, ' dx 



dt^ dt, 

 ' dti ' dy' 



Des équations (5) et (6) on déduit : 



dy 



Or, par hypothèse, ne dépend que de x et // ; donc le second 

 membre est indépendant de z et u ; le premier doit l'être aussi, et 

 ne change donc pas si l'on y remplace z et u par des quantités 

 quelconques Zo et Wo- 



