En substituant dans la première des équations (8) h valeur de 

 x tirée de la seconde, on obtient 



Remplaçons les parenthèses par 2r<c cos B, u 2ab cos C, ensuite b 

 par 2li sin B et c par 2R sin G ; il vient 



2R 2 (z sin 2B - y sin 2C) = r*(y cot B — z cot G). (9) 



Cette équation représente la droite A0 o ; par analogie, celles des 

 droites B0 6 , GO c sont 



2R 2 (# sin 2C - z sin 2A) = v(z cot C — x cot A), (10) 



2R 8 (y sin 2A - z sin 2B) = cot A — y cot B). (11 ) 



Pour abréger, nous écrivons ces équations ainsi : 



<2Wr) a = U e a , 2R«ifc— t*», 2RV = W€cî W 



n« — 0, rjft = 0, ne — 0 représentent les droites AO, BO, GO, et 

 €«=0, €* = 0, € c = 0 les hauteurs AA», BBa, CC a . Nous aurons 

 l'équation du lieu du point S en éliminant «, r, m; entre les rela- 

 tions (7) et (12) ; ce qui donne 



2(n„e 6 € c . sin 2 A + nbteta sin 2 B + r\ c e a e b sin 2 G) 



= e«n&n c + e&nc»ia + e c n«nv (13) 



Ce lieu est donc une çuliiqm 1 pnssuii pur les points 



A(€« =0, n « — 0), B, G, 0 (ru, = n» — ne =0), H (e« = e 6 = € c =0). 



Nous en trouverons plus loin une équation plus simple. 

 11. Le lieu du point N peut également se déduire des calculs 

 précédents. A cet effet, donnons aux équations (9), (10), (11) la 



(2R 2 sin 2G + u cot B)y = (2R 2 sin 2B -f u cot C):, 

 (2R 2 sin 2A + v cot C)z = (2R 2 sin 2C -f v cot \)x, 

 (2R 2 sin 2B + w cot A> = (2R 2 sin 2A + w cot B)y ; 



