11. Problème de Géométrie i-lane (Ed. Times, 1910, p. 38). 

 On marque sur les côtés BC, CA, AH d'un triangle scalène A Ht l 

 les points A' I!' G' tels que 



HA'. BC = CB\ CC = AC. AH = X. 



aux côlés(wrespmidaiils du triangle ABC, tandis que dans les 



M. dU-agne (Mathesis, 1887, p. 265), et celle des droites 

 VA', HH', CC concourantes par Laistnl ! Cam/ri-s de Linux/cx. \s\H), 

 p. 26). 



1. La condition de collinéarité est : 



X* + (a 2 - X) (6 2 - X) ( c « - X) = <) ; 

 on en déduit : 



XItt- = là 1 6« ± \/Za* b 4 - 2a* b z ? Ta\ 

 Si l'on pose bc = a, ca = 0, = y, la réalité de ces valeurs 

 de X exige : 



la' - 2ip- r >0, 



inégalité qui exprime que les quantités a, p, y ne sont pas propor- 

 tionnelles aux côtés d'un triangle réel. Ces quantités sont entre 

 elles comme les hauteurs du triangle ABC. 



Quand X varie, les points A', H', C engendrent trois ponctuelles 

 semblables, et les droites A'B' et B'C enveloppent deux paraboles 

 qui louchent le côté CA. Les droites cherchées (réelles ou imagi- 

 naires) sont les deux autres tangentes communes à ces deux 

 paraboles. 



2. Pour que les droites AA', BB', CC soient concourantes, on 

 doit avoir : 



cp (X) X 3 - (a 8 - X) (b* - X) (r — X) = 0. 



