Fuchs (') a montré qu'une pareille équation admet deux inté- 

 grales régulières distinctes dans le domaine de l'origine : 



Vi ™ £ s, q>,0») y 2 = z s *q> t (x), 



les exposants s, et s 2 étant différents, et q^r» et q>,(x) désignant 

 deux fonctions holomorphes qui ne sont pas nulles pour x = 0. 



Chacune de ces deux intégrales peut donc être représentée par 

 un développement en série potentielle : 



(b) y = c 0 X* + Cl X s ^ + C 2 X S +* + (c 0 ^ 0). 



En attribuant aux fonctions P et Q les formes : 



j m = ao + a l x + a,s« + 



I ()(x) = b 0 + b x x + b 2 x* + 



et en substituant le développement (b) dans l'équation (a) on voit 

 que gj et s 2 sont les deux racines de l'équation de second degré : 

 00 s(s — i) -f aos-j- b o = 0. 



Cette dernière- équation est l'équation déterminante fonda- 

 mentale. 



On peut choisir arbitrairement c 0 , puisque l'intégrale n'est 

 déi,-i ruinée qu'à une constante près. Pour trouver les autres coef- 

 ficients du développement, c p par exemple, il suffit d'égaler à Ole 

 coefficient que l'on trouve pour x s +p après avoir substitué à y 

 dans l'équation (a) le développement (b). On obtient ainsi une 

 formule de récurrence qui permet de calculer de proche en proche 

 les coefficients de l'intégrale y. 



Appliquons cette méthode à l'équation de Ciairaut. 



Les polynômes P et Q sont les suivants : 



(■*»♦-•-?(£)••- 



(') Cfr. Goursat : Cours d'Analyse Mathématique (3<- .•ditiom. t. If, pp. U<2 



