8. 



L'équation déterminante fondamentale devient : 

 5 ( 5 _l) + 6s = 0, 



et admet les deux racines s t = 0 et *, = — 5. 



La racine s 2 = — 5 donnerait pour e un développement conte- 

 nant au moins un terme en r~ b dont le coefficient ne serait pas nul. 

 Au centre, pour r = 0. on aurait e = oo . Cette solution doit donc 

 être rejetée comme Laplace l'a fait voir par une autre méthode. 



La première racine s l = 0 donne pour e le développement 

 suivant (à une constante près, en faisant c 0 = i) : 



Si l'on substitue à e ce développement dans l'équation de 

 Clairaut et si Ton égale à zéro le coefficient de x p , on obtient la 

 formule de récurrence suivante pour le calcul des coefficients : 



Po -1) + 2p] c p = p 2 [|<p - 2)(p-3)+2(p - 2) +|]*-t 



+ P , [ (p - 4) (p - 5) + % P - 4) +| je,,-*. 



Cette formule appelle les remarques suivantes : 

 1) Le coefficient c p ne dépend que des coefficients c p . 2 et c p -±. 

 Or c l = c ;i = 0. Donc tous les coefficients d'indice impair sont 

 nuls et e ne dépend que des puissances paires de r : il fallait s'y 

 attendre du moment que l'on supposait une symétrie parfaite par 

 rapport au centre de la terre. La loi des densités 



exprimait déjà cette symétrie ; il fallait la retrouver dans la loi 



u 2) Le coefficient c p est multiplié par p 0 tandis que c p -i et c p -a 

 sont multipliés respectivement par p 2 et p 4 : les coefficients c p ne 

 dépendront donc que des rapports et 



I V. Vérification des Conclusions : L'intégrale de l'équation de 

 Clairaut sera donc l'intégrale particulière : 



Ge - i + c t r» + cf + 



