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Associons quatre points (A,, A 2 , A.„ A 4 ), puis (A',, A'„ A'.„ A' 4 ) 

 où les angles (0 2 , 0 3 ; 0„ 0 4 ; 0 4 , 0 2 ) ; ... (0 n 0, ; 0„ 0 3 ; 0„ 0.) 

 ont même sens. 



Tout d'abord, il est évident que les droites A, A',, A 2 A' 2 , A 3 A' 3 , 

 A 4 A' 4 se coupent au centre radical C des quatre sphères 0 1} 0 2 , 

 0 3 , 0 4 , si bien que les tétraèdres OAOA et A,A 2 A 3 A 4 , 0,0 2 0 3 0 4 

 et A',A' 8 A' 3 A' 4 sont orthologiques. Les centres d'orthologie sont 

 respectivement G et chacun des centres ou et uj' des sphères circon- 

 scrites aux tétraèdres A t A 2 A 3 A 4 et A\A' t A' 3 A' 4 . 



Aj et A 2 sont deux points anti-homologues des sphères 0 3 et 0 4 ; 

 la droite A^ passe par l'un des centres de similitude M des 

 sphères 0 3 , 0 4 et le produit MA n MA 2 exprime à la fois la puis- 

 sance de M, par rapport à toute sphère (I) qui passe en A, et A,, 

 et le module de l'inversion qui, ayant M pour centre, transforme 

 •deux des sphères contenant ces points l'une dans l'autre. 



Pour la même raison, les autres arêtes A,, A ., A ;i A 4 , A 4 A 15 A 4 A 2 , 

 A,A 3 , contiennent l'un des centres de similitude N, P, Q, S, U, 

 des sphères (0 4 , 0,), (0„ 0 2 ), (0 2 , 0 3 ), (0„ 0 3 ), (0 2 , Oj. Or, les 

 six points M, N, P, Q, S, U, sont situés sur les arêtes du télraèdiv 

 0,0 2 0 3 0 4 , puis dans un même plan (tt), l'un des plans de simili- 

 tude des quatre sphères. 



Les tétraèdres 0,0,0,0, et A,A 2 A 3 A 4 , 0,0 2 0 3 0 4 et k\k' 2 k' 3 k\sont 

 par suite à lu fois homologiques et orthologiques ; (a limite qui 

 joint le centre radical G des quatre sphères aux centres des sphères 

 uj et uj', contient les centres d'homologie K et K' ; elle est normale 

 au plan d'homologie ('). 



Deux des seize sphères tangentes aux quatre sphères données 

 ont donc leurs centres l"„ (", sur la perpendiculaire Gujuj' au plan 

 de similitude (tt) correspondant qui « initient par suite sept points 

 remarquables : C, uj, uj', K, K', T,, 1%. 



0,, 0 2 , 0 3 , 0 4 , P le centre de similitude direrl îles sphères 0, et 0 2 , 

 a, et P,, A., et A, étant des roupies anti-homologues des sphères 



