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qui passent par ses sommets, trois cercles qui ont un point com- 

 mun. Ces quatre points sont les symétriques de K par rapport aux 

 plans des laces du tétraèdre uj a w,,uj e uj rf . 11 est évident que le point 

 K est le conjugué isogonal, par rapport au tétraèdre w a \jô b \x) L \xid, du 

 centre de la sphère circonscrite au tétraèdre K«K fi K c K rf dont les 

 sommets sont les points communs a trois des sphères sur les faces 

 du tétraèdre ABCD. 



3. Le cas particulier où les points a, b, c, a', b', c' sont situés 

 dans un même plan, nous a donné des résultats intéressants que 

 nous avions signalés à M. Xeuberg, auteur de cette question : 



Un plan P coupe les arêtes BC, CA, AB, DA, DB, DC d'un tétra- 

 èdre aux points a, b, c, a', b', c'. Démontrer que les sphères circon- 

 scrites aux tétraèdres Aa'bc, Bb'ac, Cc'ab, Da'b'c' passent par un 

 même point Iv. Conséquence d'un théorème de M. Uoberts) Ç). 

 Le journal anglais n'a du reste rien ajouté à cette proposition. 

 Les six points a, b, c, a, b', c' sont les sommets d'un quadri- 

 latère complet situé dans le plan P. Les sphères uj„uj mu m,, sont 

 coupées par ce plan suivant quatre cercles qui sont circonscrits 

 aux triangles a'b'c', b'ac, c'ab, abc. Or, ces cercles ont un point 

 commun K, point de Miquel C) relatif au quadrilatère complet. 

 K est évidemment commun aux quatre sphères. 



En les prenant trois à trois, les sphères uj„, w 6 , w c , w a détermi- 

 nent quatre autres points K„, K b , K r , K d situés sur les faces du 

 tétraèdre ABGI). Ces points sont les poïnls de Miquel des quadri- 

 latères complets déterminés par chaque face du tétraèdre avec la 

 trace du plan P sur celte face : ils appartiennent par suite à chacun 

 des cercles circonscrits aux faces, c'est-à-dire à la sphère 0 cir- 

 conscrite au tétraèdre ABCD, et sont de plus les symétriques de K 

 par rapport aux plans des faces du tétraèdre uu„uj 6 uj c uj d . 



Les points K„, K b , K c , K d sont les sommets d'un tétraèdre. S'ils 

 étaient en effet situés dans un même plan, il en serait de même 

 des centres w a , uu 6 , uu c , uu d des quatre sphères. Comme ces sphères 

 se coupent en un même point K, ce point serait situé dans le plan 



V) Educational Times, 1898, p. 189. 



quadrilatère complet. 



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