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il y a rotation. L'auteur suppose une masse de matière M dont la 

 densité en chaque point est une fonction continue ou discontinue 

 de la distance à un point fixe, la densité moyenne étant D ; la 

 masse se termine par une couche homogène d'épaisseur finie et de 

 densité b. 



Après avoir signalé la sphère comme première figure d'équi- 

 libre évidente, il s'occupe de celles qui en sont infiniment voisines. 



Déjà A.-M. Legendre ( 1 78!)) avait recherché, pour le cas d'homo- 

 généité, les figures d'équilibre voisines de la sphère. Il exprime 

 en chaque point la côte par rapport à la surface, a l'aide des 

 coordonnées sphériques. Étendant au cas de plusieurs variables la 

 méthode qui permet d'exprimer une fonction d'une seule variable 

 par une série de fonctions trigonométriques, il exprime le potentiel 

 au moyen des harmoniques sphériques, appelés plus tard poly- 

 nômes de Legendre. Ce procédé est aujourd'hui de la plus grande 

 importance en physique mathématique. 



M. Bertrand suit la méthode de Legendre. 11 déforme donc 

 légèrement la sphère en y ajoutant une couche de densité b, 

 d'épaisseur tantôt positive et tantôt négative, dont le volume total 

 est nul, ce qui revient à une simple déformation. Si ce sphéroïde 

 est encore une figure d'équilibre, le nouveau potentiel doit être 

 constant en tous les points de la surface, ce qui fournit entre les 

 coefficients une série d'équations d'où l'on déduit les éléments de 

 la question. Il calcule donc le potentiel de la masse totale en un 

 point du sphéroïde, en décomposant la sphère en deux ; une 

 première, de densité constante. une seeonde formée de la matière 

 restante. Puis il écrit l'équation intégrale, qui est très simple. A 

 l'aide du développement en série de fonctions sphériques et en 

 utilisant un théorème sur le potentiel, il étudie les solutions de 

 l'équation homogène qui correspond à cette équation de l'redholm. 

 Il distingue différents cas, suivant les valeurs relatives de D, b et n 

 (indice de la fonction spbérique). Tassant à l'équation avec second 

 membre, il montre aisément dans quels cas il y a une figure 

 d'équilibre infiniment voisine de la sphère. 



M. Bertrand envisage ensuite le cas particulier de l'homogénéité, 

 qui conduit à la sphère initiale légèrement déplacée, et le cas de 

 l'ellipsoïde peu différent d'une sphère. 



