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ou 6 fois, suivant que r s ou r = s. De même pour les D a P,., s 

 et pour les PP r , s , les premiers étant engendrés par l'espèce 2, les 

 seconds par les permanents. 

 Chaque (ou, uj), dont a est le rang principal, fournit : 



tyVui » iVVw par l'espèce 2 

 D «<V uj fois) , D p o UJ( w , D ï o- UJ/ w par l'espèce 4, 



de sorte que chaque scott-cayléenne (uj, uj) donne toujours 2 fois 

 chacune des fonctions D,<a s , s , pour r, *• = 1, 2, 3, et ces valeurs 

 sont, au total, exprimées chacune 42 fois. De même pour les 

 Pa a a , chacune des (a, a) les fournissant 2 fois par l'espèce 2. 



Ces résultats se généralisent dans les suivants. Chaque matrice 

 (r, s), où a est le rang principal, fournit : a) par 2 de ses déter- 

 minants d'espèce 2, les produits Dpffr'%, D T o,i; ! s ou bien D^r, s , 

 D T ov%, suivant que l'indice lié affecte le premier ou le second 

 facteur sous le signe sommatoire ; b) par 4 de ses déterminants 

 d'espèce 4, les valeurs : 



Mf?'. , d 0 <f# ; D p o-;;i , d t o-;;' s , 



M"i , D a <Tr?i ; Dp(T^ l 5 , D^**, 



suivant les mêmes cas. De toute façon, chacune des 6 fonctions 

 ^iu a r e \ ' P 0Lir w = l, 2, 3, 0 = 1, 2, est exprimée une seule fois. 

 Au total, 12 fois, puisque ov?s = ov'.V 11 en est de même pour 

 P°r 9 s ' Puisque chaque cayley-scottienne (r, 5) fournit, par 2 dé- 

 terminants d'espèce 2, les produits Pov.'L et Va!; s . 



De cette répartition des diverses valeurs, on déduit qu'il y a 

 16 déterminants normaux, dont 8 pour chacune des espères 2 et 

 4, et 16 quasi normaux, dont 7 pour chacune de ces espèces, 

 outre le persignant (d'espèce 6) et le permanent. Ces déter- 

 minants, qui sont distincts, ne sont pas tous inégaux : chacune des 

 18 cayley-scottiennes (a, a) donne 22 valeurs distinctes, dont 

 10 normales ; tandis que les 36 matrices (a, p) fournissent chacune 



