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Les génératrices / 4 joi^reTif if<\\<>< fivementles couples 



de points 



(A„ m'a,), (A 8 , m'a,), (A 3 , m'a 3 ), (A 4 , m'a,). 

 On déterminera de même les génératrices m,, m 2 , m :i , m. i issues 

 des points A, A 2 A 3 A 4 . 



Dans une lettre du 22 avril 185H, Sleiner communique, sans 

 démonstration, \ Schlafli « un beau théorème t> qui parait être peu 

 connu. Cette proposition a été établie, avec des développements 

 intéressants sur les tétraèdres de Mobius, par le professeur 

 E. Millier (Archiv der Mathematik und Physik, (III) 1, pp. 129- 

 136). J'en vais donner une démonstration analytique en adoptant 

 l'énoncé suivant : 



points quelconques de u ; A , IV, I'/ /rois points quelconques de u' ; 

 A,A 2 , H, H.,, C,C, c/e.s' couples de points qui divisent harmonique- 

 Lés plans AJ^C,, A.>B 2 C,,, B,C.,A ; , C,\,B, passent par un même 

 point D, ; tes ABC.. .U^C,, HJ^A,, (LA, H, passent par un 

 même point D, ; /a droite D,D, w« dtvwéfe harmoniquement par 

 les droites u ef u'- 



Désignons par (,/ ,, ,r ;i , ,r 4 ) des coordonnées tétraédriques 

 courantes, par (a,, a.,, a 3 , a 4 ), (p,, ...), (Tu •••) l es coordonnées 

 des points A, B, C, et par (a'„ ...), (p'„ ...), (t'„ ...) celles des 

 points A', B', C. Pour celles des points A„ B„ C„ A 2 , B tf C, nous 

 adoptons : 



K + Xa',, ...) , (P, + nP'„ ...) , (ï, + v T '„ ...), 

 (a, — Xa'„ ...) , (P, -up'„ ...) , (T, - vt'„ ...)• 

 Les points A, B, C étant eollinéaires, ainsi que les points A',B\C, 

 on a des égalités de condition de la l'orme 

 (1) pa„-f-gPn + rr»«0 , p'a'n + 4Pn + r , T'n*~ù, 

 où « = 1,2, 3, 4. 



Convenons de n'écrire que la première ligne d'un déterminant 

 dont les autres lignes n'en diffèrent que par l'indice des éléments. 



