Contributions à la géométrie 

 du triangle et du tétraèdre 



PAR 



V. TIIËBALI I 



1. CERCLES REMARQUABLES DU TRIANGLE 



La question 2006 (Mathesis, 1915, p. 32), dans, laquelle 

 M. Neuberg signale quatre sphères remarquables du tétraèdre, 

 nous a suggéré l'étude de trois circonférences analogues dans le 

 triante. 



1. Etant donné un triangle ABC, proposons-nous de construire 

 trois circonférences égales entre elles, se coupant au même point 

 et tangentes, chacune, à deux côtés du triangle. 



Soient w a , w b , w c les centres des d ois rirconféirnces, supposées 

 d'abord intérieures au triangle, S leur point commun. Les rayons 

 étant égaux, le triangle w a uj6w c est directement homothétique au 

 triangle ABC, le centre d'homothétie étant le centre 1 du cercle 

 inscrit à ABC ; S est le centre de son cercle circonscrit. Ce point 

 est situé visiblement sur la droite 10 des centres des cercles inscrit 

 et circonscrit au triangle ABC. Par suite, si a, p, f désignent les 

 seconds points d'intersection de wj, et u> c , ai c et uu a , w a et w&, 

 angle w 6 awe = angle w 6 Su) c = 2A, 

 angle ujePw a = 2B ; angle u) aï uu{, = 2C, 

 et les circonférences w a , uj 6 , w c se coupent deux à deux sous les 

 «ngles 2 A, 2B, 2C, A, B, C étant les angles du triangle ABC. 



S et 0 étant des points homologues des triangles w a WbW c et 

 ABC, Suu a est parallèle à OA, et si l'on mène \m, w a >> perpendi- 

 culaires à A B, on a : 



Suu a Iuu a bn ± ui a « r ± o 



