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d'où 5-— !1±P , P = ^!L, 



relation remarquable entre les rayons r, R des cercles inscrit et 

 circonscrit au triangle ABC et le rayon p des cercles uu a , w», w c . 

 Les signes ± correspondent aux cas où les centres des circonfé- 

 rences w a , u) 6 , ujc sont intérieurs ou extérieurs au triangle ABC. 

 La relation (1), qui peut s'écrire 



indique nettement la position du point commun aux trois cercles : 

 S est l'un des centres de similitude des cercles inscrit et circonscrit 

 au triangle ABC. 



2. On rencontre aussi les résultats précédents en prenant 

 comme hypothèse les seules conditions que les circonférences 

 uj a , < uj c touchent deux côtés du triangle et se coupent respec- 

 tivement sous les angles 2A, 2B, 2G. 



Désignons en effet par x, y, z les rayons des circonférences 

 w a , uj 6 , w c , que nous supposons intérieures à ABC, par X et X , 

 Y et Y', Z et Z leurs contacts respectifs sur BC, CA, AB. On a, par 

 exemple, 



t XX' 4 - V* + t 1 — %yz cos 2A - (y - zf = i yz sin 2 A ; 

 d'où l'on conclut : 



XX'^VyF.sinA, YY' = Vsjzx. sin B. ZZ 72 = <%sjxy. sin C. 

 Or, en grandeur et en signe, 



XX' = ,- y cot|- 2 cot5 = 2RsinA _ //cot B__ 2cot C 

 -et x, y, : sont déterminés par le système 



x cot | -f y cot j- + 9\Jocy~$m C — 2R sin C = 0, 

 V cot -2 + ; cot ^ + sin A - 2R sin A — 0, 

 z cot 2 + x cot | + 2Y^sin B - 2R sin B = 0. 



