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Remarquons aussi que le triangle aB T est égal au triangle 

 Wa-WbWc ; le centre S du cercle circonscrit à ce dernier triangle 

 est l'orthocentre du premier. 



5. Puisque les triangles uj a ui b uj c et ABC sont homothétiques, les 

 tangentes en S aux cercles w a , uj 6 , w c sont respectivement anti- 

 paralleles a BG, CA, AB par rapport aux angles correspondants de 

 ABC. II en est ainsi des tangentes en S' aux cercles w' a , u/f. uj' c • 

 Les symétriques S., S>, S c et S' a , S'*, S « de S et S', par 'rapport aux 

 bissectrices AI, BI, CI sont donc les contacts des cercles w a et u/ a 

 avec leurs tangentes parallèles à BC, CA, AB et (AS a , BS b , CS C ), 

 (AS' a , BS'fc, CS'c) déterminent les points de Gergonne et de Nagel 

 du triangle ABC. On retrouve ce théorème que nous avons donné 

 (Nouvelles An.mi.ks h. Mathkmatiuues, I9J5, pp. 115 et 302) et 

 que nous complétons : 



Dans un triangle ABC, les conjugués isogonaux des points de 

 Gergonne et de Nagel sont les centres de similitude interne S et 

 externe S' des cercles inscrit et circonscrit. 



Les conjugués isogonaux des adjoints des points de Gergonne et 

 de Nagel sont les centres de similitude interne et externe des 

 cercles circonscrit et exinscrit correspondants (»), 



6. Désignons par T et T', U et U', V et V les points où les 

 tangentes en S aux cercles w a , uj 6 , w c rencontrent CA et \B 

 AB et BC, BC et CA. Les points (B,C,T,T'), (C, A, U,U'), (A,B,V V) 

 déterminent trois cercles W a , \V 6 , W c . Nous allons montrer que 

 ces cercles se coupent deux à deux aux points M, X, P du cercle 



Les triangles semblables ABC et CVV donnent : 



{SJ-£ soit cv = ^. 



(') Si le cercle I a touche les côtés de ABC en D a , E a , F a et si D' a , E' a( F a sont 

 drVt 01 w qU BD' CD' S POi " IS ^ ^ ^ ^ ADfl ' RD< " CDc et leS 



Î^P° inls f*> v a des (^Joints des points de Gcrgonn, > \ , , , < , \\ 



p. ..!')■ Les cercles exinscrits I 6 , I c donnent naissance à des ./•/>„/* 



