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5. 



BU' = ^, et AJ'-CV'-CÂ, = j±-^ t 



d'où A,V . AjB = Â,U' . AjC. 



A, est par conséquent un point de l'axe radical des cercles 

 W 6 et W c ; B, et C, sont aussi sur les axes radicaux de W. et W c , 

 W a et W 6 , et les cercles W a , \\ b , W c oh/ pour centre radical le 

 centre I du cercle inscrit au triangle ABC. 



Calculons la puissance de I par rapport à ces cercles. 



Soit M' l'intersection de W& et W c sur AA,. 



À7. ÏM' = ÀT(iA, - Wa,) = ÂÏ^ÏÂ, - ^~ lB )- 



En exprimant AI, IA, et A, A en fonction des côtés a, b, c de ABC, 

 des rayons B et r, on obtient : 



. IM - AI . IA' . 54- = 2Rr 



et les cercles W 6 , W c se coupent au point M. De même les inter- 

 sections de Wc et \V a , et \N b sont les points N et P. 



Les cercles W a , W b , \V C se coupent donc deux à deux sur te 

 cercle circonscrit au triangle w a w 6 uu, aux points M, N, P. 



On déduit à nouveau, de ce résultat, que les points 0, S, I sont 

 en ligne droite. Ajoutons que I est l'un des centres de similitude 

 des cercles 0 et S et que les points 0 et S sont conjugués isogo- 

 naux par rapport au triangle W«W fc Wc. 



