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7. Les triangles MNP et Wa\Yb\V c , dont les côtés sont perpen- 

 diculaires aux bissectrices AA„ BB n CC U sont homothétiques au 

 triangle DFF des contacts du cercle inscrit au triangle ABC ; les 

 centres d'homothétie sont deux points F, et F, de 01, et 



FS = 1 + R ; FO (R % r)V 

 Les lignes des centres S\V,, S\V(,, SWV des ren ies S et \V a , 

 S et W 6 , S et We sont par suite parallèles à AA t , BB„ CC, et S 

 est Vorlhorentre du triangle \Y a AY 6 \V c . Le centre du cercle cir- 

 conscrit à ce triangle W.WAYc est le centre 0 du cercle ABC, 

 conjugué iso^onal de S par rapport à \Y a \Y(,\Y c . 



Les rayons H, r, \ des cercles 0, 1 et \Y a \Y b \Y c sont d'ailleurs 

 liés par la relation 



R* = X (H + r). 

 IL sur l'orthopôle 



1. A propos d'une construction de Mannheim pour le point de 

 contact du cercle inscrit et du cercle des neuf points, nous avons 

 donné des propriétés de points et de droites d'un triangle ('). 



Depuis, nous avons publié ces propositions plus générales : ( 2 ) 



a) On (tonne un triangle ABC et un point P de son plan. Soient 

 0, R. S les projections orthogonales de P sur BC, CA, AB ; a, p, y 

 les seconds points de rencontre du cercle podaire w de P avec QP, 

 BP, SP; M„ M,, M, les milieu.,- de PA, PB,. PC ; 0 le centre du 

 cercle ABC, et A„ B„ C, les milieux de BC, CA, AB. Les droites 

 aM„ PM„ yM 3 concourent à l'orthopôle q>' du diamètre OP', P' 

 étant l'inverse triangulaire de P par rapport à ABC ( 3 ). 



b) Les droites <p'a, <p'p, qp'f rencontrent les cotés du triangle 

 médian A 1 1 5 , G v en trois points m,, m,, m., <7>w7e (A,) /ywî 

 contient le rentre Q des mogennes distances des points A, B, C, P. 



