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les cercles (B', G'), son centre est sur l'axe radical de ces derniers 

 cercles ; de même, B et G appartiennent respectivement aux axes 

 radicaux des groupes de cercles (G, A), (A, B). 



On en conclut que les perpendiculaires abaissées des sommets 

 A, B, C respectivement sur les côtés du triangle A'B'G' concourent 

 en un point S', centre radical des cercles A', B', C'. Les points S et S 

 sont les centres d'orthologie des couples de triangles (A'B'G', ABG) 

 et (ABC, AB'C). 



Prenons sur les droites d a ,d b ,d c un second triple de points A", B", 

 C", desquels, comme centres, nous décrivons des cercles coupant 

 orthogonalement les couples (B, G), (G, A), (A,B) ; soit S" le centre 

 d'orthologie des triangles ABG et A"B"G". Les points S' et S" sont 

 les centres de deux cercles coupant orthogonalement, le premier 

 les cercles A', B', C' et l'autre les cercles A", B", G". 



Les cercles B', C r sont orthogonaux aux cercles A et S' ; donc la 

 droite B'G' est Taxe radical des cercles A et S'. De même la 

 droite B"C" est l'axe radical des cercles A et S" ; par suite, l'inter- 

 section de B'G' et B"G" est un point de l'axe radical A des cer- 

 cles S' et S". On constate alors que l'axe radical A de S' et S" est 

 l'axe d'homologie des triangles A'B'G' et A"B"C" et que A est per- 

 pendiculaire à la droite S'S" des centres d'orthologie des couples 

 de triangles (ABC, A'B'G') et (ABC, A"B"G"). 



Ainsi se trouve établi un premier théorème de Steiner (Journal 

 r.E Crelle, t. 11, p. 287) ( l ). 



2. Désignons par a,, a 2 , a 3 et a' M a' 2 , a' 3 les projections ortho- 

 gonales des points S' et S" sur les côtés du triangle ABC. S'A, per- 

 pendiculaire à B'G', est un diamètre du cercle S'ct 2 a 3 . Les côtés 

 des angles a 2 S'a 3 et B'SG' étant respectivement parallèles, a 2 a 3 est 



(') Ce mode de démonstration, peu connu en France, nous p;ir;nt minier 

 d'être répandu, à l'exemple de M. Neuberg, qui a jugé bon de l'appliquer aux 

 tétraèdres (loc. cit.) et me fait savoir qu'il l'a emprunt.' à l'ouvrage Swthe- 

 tische Reweise, par Fuhrmaun, et que cet auteur « — • 

 de la démonstration du premier théorème de Steiner, par Félix Eberty (Jour- 

 nal de Crelle. t. V, p. 107). 



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