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des points S' et S" sur les faces du tétraèdre ABCD. La droite S' A, 

 par exemple, est perpendiculaire au plan B f G'D'. Mais S'A est un 

 diamètre de la sphère S'a 2 a 3 a 4 , et comme les trièdres ct 2 a 3 a 4 S' et 

 B'CD'S ont leurs arêtes respectivement parallèles, le plan a,a 3 a 4 

 est antiparallèle à B'C'D' par rapport au trièdre B'C'D'S. De même 

 les plans a s a 4 a n a,a 2 ct 3 sont antiparallèles aux plans CD' A', 

 A'B'C par rapport aux trièdres de sommet S qui leur correspondent. 



Le tétraèdre a,a 4 a 3 a 4 est donc homothétique à un tétraèdre a'b'c'd' 

 dont les sommets, situés sur SA', SB', SC, SD' sont les inverses 

 de A', B', C, D' dans une inversion de centre S et de module 

 quelconque. 



S' et S, S" et S sont des points homologues dans des homo- 

 théties (a'b'c'd', a,a 2 a 3 a 4 ) et (a"b"c"d", a',a>' 3 a' 4 ) et l'on a, comme 

 en géométrie plane, 



(SA' . SA 7 ') . (S 7 ^ . SV) = (SB ? . SB 7 ') . (S 7 ^ . SV 2 ) = 

 = (SC . SC 7 ) . (SV SV 3 ) — (SD' . SD 7 ') . S 7 ^ . SV 4 ). 

 7. Lorsque 



SA 7 . SA 7 ' = SF . SB 7 "' = SC' . SC' = SD' . SD", 

 S 7 ^ . SV, - S 7 ^ . SV 2 - ST, . SV 3 - S'â 4 . SV 4 . (4) 



S' et S" sont alors conjugués isogonaux par rapport au tétraèdre 

 ABCD, c'est-à-dire les foyers d'une quadrique de révolution 

 inscrite à ce tétraèdre. Cette quadrique est un paraboloïde lorsque 

 S', par exemple, tombe sur la surface du troisième ordre lieu des 

 points dont les projections orthogonales sur les faces du tétraèdre 

 ABCD sont située* dons un même plan. 



Si les quatre sphères de centres A, B, C, D se coupent trois à 

 trois en des points A', B', C, D' et A", B", C", D", nous retrouvons 

 le théorème que nous avons donné, 1921, p. 239 (Annales de la 

 Société scientifique). 



A'B'C'D' et A"B"C"D" étant situés sur une même sphère I, la 

 somme algébrique des puissances du centre radical S des sphères 

 A,B,C,D. par rapport aux sphères S' et S", reste constante lorsque I 

 varie. 



