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un triangle MNP avec les longueurs aa', bb\ ce'. Ces cercles se 

 touchent si le triangle des côtés aa! , bb', ce est un triangle aplati. 



Cette condition découle de la proposition suivante : 



Sur les côtés d'un triangle ABC on construit extérieurement et 

 intérieurement les triangles BD,C, BO',C, CD,A, CD' 2 A, AD 3 B, 

 AD' 3 B semblables au triangle de côtés aa', bb', ce' ; les droites AD n 

 BD 2 , CD 3 et AL)' n BD 2 , CD' 3 concourent en deux points V, et W t 

 conjugués isogonaux de V et W par rapport à ABC. 



Soient en effet les triangles antipodaires ctjpj,, a 2 p 2 Y 2 des points 

 W 17 par rapport à ABC. Les sommets de ces triangles appar- 

 tiennent aux circonférence circonscrites aux triangles BD,C, 

 CD 2 A, AD 3 B et BD',C, CD' 2 A, AD' 3 B, dont les centres sont les 

 milieux de V^,,..., et YV^a,,.... Par conséquent, leurs angles sont 

 égaux à ceux du triangle MX P. Les triangles a^j,, X^Z, et 

 a..p..T 2 , X , V',Z \ constituent donc deux couples de triangles sem- 

 blables, directement et symétriquement ('). 



Lorsque le triangle de côtés aa. bb', ce' est aplati, il en est de 

 même des triangles podaires de V, W. Ces points sont alors con- 

 fondus sur le cercle 0 circonscrit à ABC. Les cercles uj„, m, u> c se 

 louchent en V et la droite des centres uuj,, w c est tangente 

 à 0 en V. 



4. Il va un rapport simple entre les aires des triangles podaires 

 X.Y.Z,, X'.Y'^A de V et W. D'après une relation connue, 



ABU. ont l.Mii'- n". t.'-; n'^u-ti i vcmrnt perpendiculaires à V, A, \ ',< '.. W, A. 

 W t B, W,C Or il n'existe que deux points du plan k\\V. dont les triangles podaires 

 sont semblables à un triangle MNP; ces points sont donc nécessairement V t 

 et W,. 



