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neuf points, b le diamètre du cercle 0 dont ip, est l'orthopôle, 

 A„ B n G, les milieux de BG, CA, AB. 



On a d'abord : 



ipA, : : yC, = cos a : cos p : cos y (')• 



Considérons ensuite le triangle A 2 B 2 C 2 formé par les perpen- 

 diculaire ou B sur BG, en G sur GA, en A sur AB ; ce triangle est 

 semblable à ABC, le rapport de similitude étant la eotangente de 

 l'angle de Brocard 0 du triangle ABG. Envisageons maintenant le 

 point P dont les distances à G, A ,, A l!,. B.,G.> sont proportionnelles 

 à aa'\ bb'\ ce' 2 . 



Nous allons prouver que OP n'est autre que le diamètre 5. 

 Si a', p', T ' sont les angles de OP avec BC, CA, AB, on aura : 



cos « f = cos P' = cos y' ^ 

 ^ — kaa" 1 |- — kbb' 2 -| — kcc' 2 



. . . . „ . 2Scote 



ou k représente 1 expression aa > 2 _j_ ^ œ >i ' 



Or, y' désignant l'orthopôle de OP, 



vp'A, : v'Bi : i/Ci = cos a' : cos P' : cos y', 

 et, par suite, eu égard à (4), 



iM, . VAt vpB i . iyB t yC l . ipC, 



2 cos a — kaa" 1 cos a ^ cos P ~ kbb n cos p ^ cos y — kcc' 2 cos y 



Puisque a cos a -f- b cos p + c cos y = 0, 

 et qu'en vertu des expressions (3), 



aa n ros a + bb'* cos P + ce'* cos y - 0, 

 MjA, . m/A, -f ujïî, . y'B, -f vC, . i|i'C, = 0. 

 Les triangles uVA,, nVB,, ip^'G, étant inscrits dans le même 

 cercle (cercle des neuf points de ABC), la relation précédente 



(») R. (ioormaghtigh, Mathesis, 1914, p. 192. 



