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c. Soient L 1 L 8 ...L«L, un contour rectiligne quelconque, et K un 

 point quelconque de son plan. L'expression d'aires 



KL,Lj + KL 2 L 3 -f ... + KL„_ t L„ + KL„L, 

 est indépendante de la position du point K, pourvu que l'on 

 applique la règle des signes des triangles coplanaires ; elle définit 

 l'aire L 1 L t ...L n L 1 . Dans le cas de n = 4, si on place K en 1^ ou L îf 

 on trouve : 



aire L.L^L, = L 1 L 3 L 4 - L^L, = L 2 L 4 L, — L 2 L 4 L,. 

 D'après cela, en sous-entendant le mot aire : 



(2) A'B'D'C'A' = A'D'C - A'D'B' = B'G'A' - B'C'D', 



(3) A'D B'G'A' = A BC' — A'B'D' -= DCA — D'G'B , 



(4) A'DCB'A — A G B' — A CD - D B A — D'BC. 



d. Désignons par 0«, Oe, O c , Od les centres et par R rt , Rs, R c , Rrf 

 les rayons des circonférences circonscrites aux triangles bcd 

 (AB,C,), cda (A,BC,), dab (A^.C), abc (ABC). On sait que ces cir- 

 conférences ont un point commun F* ( l ) ; leurs centres et le point 

 P sont situés sur une même circonférence, et les projections de P 

 sur les droites a, b, c, d sont situées sur une même droite p. 



Désignons les distances 0«M, 0 6 M, O c M, O rf M par p„, p b , Pc, Pa- 

 Les lignes des centres O n Od, O b O c , perpendiculaires sur les 

 milieux des cordes communes PA, PAj, se coupent au centre E« de 

 la circonférence passant par les points P, A, A,. Semblablement, 

 les droites OaO c , O b O a se rencontrent au centre E b de la circonfé- 

 rence PBB„ et les droites 0«0 6 , O t O d au centre Ec de la circonfé- 

 rence PCC,. 



Soient : F a , F„ les conjugués harmoniques du point E« par rap- 

 port aux couples de points O a O d , 0 6 0 c ; F», F'o ceux de E& par 



