Avec les notations 



X« = sin B sin G, \' a = sin B, sin G„ 



la = KR'a + KaWa, L'a = X„R 2 d - X' a R*„, 



les équations (6) donnent par addition et par soustraction : 



(7) Kp*a 4- \'aP 2 a = La - 2(B'C'A' + B'C'D') coséc A, 



(8) XaP'd - \' a p\ - L'a - 2(B'C'A' - B'C'D') coséc A. 

 Semblablement, si l'on pose : 



les triangles podaires des triangles C,BA et BfiA x donnent : 

 (9) v aP 2 5 + V aP % = N« - 2(A'D'C + A'D'B') coséc A, 

 m v a p\ v' oP 2 , = K a - 2(A'D'C - A'D'B') coséc A. 

 6. Les hypothèses X„ « X' a , v a - V a seront examinées plus 

 tard ; elles se rapportent au cas où BCB^ est un trapèze ou un 

 quadrilatère cyclique. 



D'après l'égalité (2), chacune des équations (8) et (10) repré- 

 sente le lieu des points M dont le polygone podaire A'B'D'C'A' a 

 une même aire. Ce lieu est donc une circonférence dont le centre 

 est le point de rencontre E„ des droites 0«0 d ,0 c 0* et divise celles ci 

 dans les rapports \ u : \' a , v a : V a . On a pour le rayon r de cette 

 circonférence : 



(11) r » , L^ ^B'C'A'-B'C'DVosécA XaX ' a 2 

 X«-X'„ (X a -X'„) 4 ° ûUd " 



La quantité B'C'A' — B'C'D' étant nulle en P, A, A,, c'est-à-dire 

 lorsque M coïncide avec l'un des points P, A, A,, tout point de la 

 circonférence PAA t jouit de la même propriété, de sorte que les 

 droites B'C et A D' sont parallèles entre elles. Si r n désigne le 

 rayon de cette circonférence, on déduit de l'équation (11) 



N« - v a R*/-f v'> c V , û 



V a = sin B, sin C, 



