POLYGONES PODAIRES D'UN QUADRILATÈRE ÉTOILE 



On a trouvé pour le quadrilatère CA^AC 



A'D'C'B'A' = A'G'B' — A'G'D' = D'B'A' — D'B'C'. 

 a. Les triangles podaires des triangles ABC, C,BA,, B.CA,, 

 ACjB, donnent : 



- 24'C'B' = (R 2 d - p%) sin A sin B sin C, 



- 2A'G'D' = (R 2 6 — p\) sin A, sin B sin G„ 

 2D'B'A' = (R 2 C - p%) sin A, sin B, sin C, 

 2D'BC = (R 2 a - p' a ) sin A sin B, sin C,. 



(16) \ b p 2 , + \' b p\ 



(17) hp^ — X'oph 



(18) v„p 2 , + v' b p\ 



(19) Vbp 2 r V'6P 2 « 



« U + 2(A'C'B' + A'G'D') eoséc B, 



- L'b + 2(A'C'B' - A'G'D') coséc B, 



- Na - 2(D'B'A' -f D'B'C') coséc B„ 

 = N' 6 — 2(D'B'A' — D'B'C) coséc B„ 



Il est facile de voir < [ i j * ■ les égalités \«, = X' 6 , v 5 --- v',, supp »nii 

 les points A, A,, G, G, concycliques. Ce cas élant écarté, les équa- 

 tions (17) et (19) montrent qu'en tout point d'une circonférence 

 décentre E b l'aire A'D'G'B'A' a la même valeur ; en tout point de 

 la circonférence PBB, elle est nulle et les droites A'G', B'D' sont 

 parallèles entre elles. 



6. De l'équation (i6) on conclut que la somme A'C'B' -f- A'G'D' 

 reste constante quand le point M parcourt une circonférence de 

 centre F ft ; elle est nulle si cette circonférence passe par P, la 

 droite A'G' passe alors par le milieu de la droite B'D'. 



On verrait de même qu'en tout point de la circonférence de 

 centre F' b et passant par P la droite B'D' passe par le milieu de la 

 droite A'C'. 



Une communication ultérieure pourra compléter les présents 

 développements. 



