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rieur du cercle |z| < R, et si de plus /"(O) ^ 0, aux cercles 

 : = p < R correspondront des courbes analytiques fermées, con- 

 vexes, emboîtées les unes dans les autres lorsque p augmente ;'i 

 partir de zéro, d'où il suit que la fonction /<;) livre la représenta- 

 tion conforme du cercle : < R sur un domaine convexe. 



Le résultat «le M. Shi.ly peut donc s'énoncer comme suit : 



suit rè(/ulièee, i/u'elle // uit en outre une /méfie eèelle pnsitiee et 

 que f'(0) ne soit pus nul. 



4. Revenons maintenant à nos polygones : Si nous parcourons 

 la frontière du polygone de façon à laisser l'intérieur de la figure 

 à gauche, un sens positif sera déterminé sur chacun des côtés du 

 polygone. Menons par un point fixe 0 du plan des vecteurs de 

 longueur un, parallèles à chacune de ces droites dirigées. Le poly- 

 gone étant convexe, ces vecteurs se suivent, lorsqu'on tourne 

 autour «lu point 0, dans le même ordre que les côtés du polygone, 

 et l'angle que font deux vecteurs consécutifs est égal à l'angle 

 extérieur du sommet correspondant du polygone, tant que ce 

 sommet se trouve à distance finie. Pour tout sommet situé à 

 l'infini l'angle de ces vecteurs servira au contraire à définir l'angle 

 extérieur correspondant du polygone. On voit que dans ce dernier 

 cas cet angle est toujours > tt. 



Désignons par 



2TTX n 2itX 2 , ... %ak n 



ces divers angles. Les X, seront des quantités positives qui véritient 

 l'égalité 



puisqu'on tout cas, d'après no- conventions, la somme des angles 

 extérieurs du polygone est égale à 2tt. 



