10. 



avec M. Fejer, une signification simple. Nous avons en effet 

 montré, dans notre mémoire, qu'à l'intérieur de tout cercle 

 \z\ = P de rayon plus grand que R toute série de puissances 

 commençant par 



1 + M + M 2 H h bnZ" 



a une partie réelle qui n'est pas partout positive, à moins que la 

 série ne soit pas partout convergente dans le cercle en question. 



Cette propriété de la constante R appliquée à notre série (2) 

 montre que le plus grand cercle z = p auquel /{:) fait corres- 

 pondre une courbe convexe est toujours inférieur ou au plus égal 

 à R, lorsqu'on se donne les (n t 2) premiers coefficients de la série. 



On peut exprimer ce fait en disant, que parmi toutes les séries 

 de puissances commençant pari// • 2) coellieients donnés, celle 

 pour laquelle les images des cercles concentriques à l'origine 

 restent le plus longtemps convexes, livre la représentation d'un 

 polygone convexe, de >m> t és a u pl us, s 1 1 r son cercle de convergence. 



Si, d'autre part, on considère tous les coefficients d'une série 

 de puissances comme donnés, on peut calcule! 1 les valeur s corres- 

 pondantes des b x , b. 2 , ... b n et de R pour des valeurs croissantes 

 de n; on obtient de cette façon une suite de quantités positives 

 non croissantes qui convergent vers le rayon du plus grand cercle 

 concentrique à l'origine, auquel fc) fait correspondre une courbe 



« borne de convexité ( Tuiinlimgsxliraukc). 



