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Les droites \,K A étant rectangulaires, il en est de même 

 de leurs isogonales dans l'angle A,; donc les droites doubles J'K,, 

 J K 2 sont perpendiculaires l'une à l'autre. 



c. On a r 2 = r 3 pour un seul système de valeurs réelles des 

 rapports Mi '■ M, : u. . à savoir siir2\, : sin±\ ; : <\n±\ . ( 1 ). (les valeur- 

 correspondent à J==0, J' = H. Or, si l'on fait m*=s,c*, r = £ M ' 

 les irois équations (5) deviennent ^^,=0, de sorte que tout 

 point de la droite de l'infini est un point double des systèmes tt et 

 tt'; donc toute droite menée par l'orthocentre H est une droite 

 double. On sait que dans ces conditions les points M et M' se cor- 

 respondent dans une homothétie. Pour confirmer cette conclusion, 

 remplaçons dans les équations <;>) ju* par x ( c ( ■ ; il vient 



Les coordonnées //, el étant absolues, nous aurons, eu égard 

 aux relations (1) et (2) : 



où Ti, T 2î T3 sont les coordonnées normales absolues de H. 



Donc le point M' est constamment le milieu du segment HM. 



3. Cherchons directement les droites doubles. Deux droites 

 homologues des systèmes tt et tt' ont pour équations 



1X^=0, ZX,t(M - u,)^ + u 2 c 3 // 2 + M3C 2 y 3 )] = 0. 



Pour qu'elles coïneident, les roeflieients de //,, //,, ,7, doivent 

 être égaux aux produits de X^ \,, X.. par un même facteur u — r, 

 / étant une inconnu.' à déterminer: on obtient ainsi les équations 

 de condition 



8l (c t c a + s t s 3 )y t + c 2 c 3 (2RvV:, 



