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il n'y a aucune difficulté. Soient P 0) le permanent déduit d'un per- 

 manent P en le trouant suivant un espace axial (espace passant 

 par Taxe) quelconque E, P (E) le permanent des éléments de l'es- 

 pace E. Pour passer de P à P (0) , il suffit de supprimer l'ensemble 

 des termes qui renferment au moins un élément de E, c'est-à-dire 

 la somme des produits formés en multipliant un sous-permanent 

 P' E , d'ordre r, de P (E) par le sous-permanent conjugué P_° , d'ordre 

 p— r et de classe n, qui lui correspond dans P'°K D'où : 

 P = p(oi + P (E) + P I Z pw p o), 



le second I s'appliquant à )* produits si A* désigne le nombre 

 des dimensions de l'espace axial E. — On peut supposer, en par- 

 ticulier, que les éléments de P (B) sont égaux à x. 



Des deux lois fondamentales de la multiplication des détermi- 

 nants, qui peuvent être représentées comme suit : 



A r . A s = A ( ? ^ s l , 



seule la seconde, où les éléments du produit sont monômes, 

 a lieu pour les permanents ; le produit de deux permanents, l'un 

 de classe r, l'autre de classe s, peut toujours se mettre sous forme 

 d'un permanent de classe r + s — 4, à éléments monômes. 



La généralisation au cas d'un nombre quelconque de facteurs 

 a lieu comme pour les déterminants. En particulier, on a : 



iïïRHiïi'vJ- 



On peut mettre le signe TT hors barres ; le produit de v per- 

 manents ordinaires peut ainsi être mis sous forme d'un permanent 

 de classe v + 1, à éléments monômes, de degré v. Parmi les nom- 

 breuses conséquences de cette loi, citons seulement la suivante : 



