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où l'on a posé 



p = j Ax \ + | Ay \ 



et où A et B sont indépendants de Ax et Ay, tandis que e tend 

 vers 0 avec p. 



Dans ce cas, il est clair que A et B ne sont autre chose que les 

 dérivées partielles f' x et f' y qui sont existantes et finies au 

 point (x, y). 



Si f{x,y) est différentiable au point (x,y), la partie de Af qui 

 est simplement linéaire en et Ay, à savoir 



AAx + BAy ou f\ r Aa; + f>A(h 



est sa différentielle totale, df, au point (x,y). 



11 est important de remarquer que cette définition de la diffé- 

 rentiabilité n'entraîne pas la continuité des dérivées partielles ;tn 

 point (x,y). 



Cette définition présente ;mssi un sérieux avantage dans la 

 théorie des différentielles exactes et des intégrales curvilignes qui 

 ne dépendent que de leurs limites. Nous allons, en effet, établir 

 le théorème suivant : 



± Théorème. — Soient P et Q deux fondions univoques et 

 'l>lf?)rii//ii/)/cs de \ et y dans un domaine U Limité par un seul 

 contour ; lu rondition nécessaire el suffisante pour que l'intéyralr 



\ Pdx + Qdy 



