- ro - 



4. Nous pouvons maintenant prouver que, si l'on a dans un 

 triangle T la relation P' ?/ = QV, l'intégrale de Vdx + Qdy est nulle 

 sur le contour du triangle. 



Décomposons le triangle en carrés de manière à réaliser la con- 

 dition du lemme précédent. 



Considérons l'un de ces éléments. S'il est intérieur, c'est un 

 carré de côté a, de périmètre 4a et d'aire a 2 . Sur le bord, l'élément 

 est une portion convexe d'un carré de côté a, son aire est <a 2 

 et son périmètre < 4a. 



Intégrons sur le contour t de cet élément. En utilisant la for- 

 mule du lemme précédent et en observant que l'intégrale de 

 (x — l)dx est nulle, car ceci est une difïérentielle exacte, il vient 



§V(x,y)dx= b ^^ydx + j^pda, 



où Ton a, par le théorème de la moyenne, 



| j^epdx | < 4a 2 w, 



car | e i est < w, ensuite p < 2a et x décrit au plus deux inter- 

 valles d'amplitude a. 

 On a, de même, 



J T <Xaw)dy = 5 ô g | ^ xdy + | €>/.</, 



[ fe'pdy | < 4a 2 uj. 



Ajoutons membre a membre ces deux équations. Au second 

 membre, \ rdy »>t \ yd.r ont, par hypothèse, le même coefficient 

 et leur somme est nulle, car c'est l'intégrale d'une différentielle 



Il vient donc (0<6<J) 



) Pdx + (}dy = (* epdx -f \ e'ptf.'/ = 86tua 8 . 



Sommons maintenant pour tous les éléments, il vient 



