\ ?dx + Qdy = 88u)Ia 2 (0 < 9 < 1). 



Le second membre est aussi petit qu'on veut avec w, car la 

 somme la 2 des aires de tous les carrés surpasse aussi peu qu'on 

 veut celle du triangle T. Donc le premier membre ne peut différer 

 de 0 et l'intégrale est nulle sur le contour triangulaire. Il est donc 

 déjà prouvé que la « oixli lion 1% (JV esl suffisante pour que 

 l'intégrale soit nulle. 



5. J'ajoute encore que cette condition est nécessaire pour que 

 rinlé^rale soil nulle sur un contour quelconque. 



En effet, considérons le contour y d'un carré' de côté a infini- 

 ment petit contenant un point (H, n). Nous avons, en reprenant le 

 ealcul précédent, 



\\ + Qdy= ^ydy + g ^xdy + 8W. 



J T Pd r + Qdy = a- ((ï ? - P n + 86ui). 



Si Q'ç — P' n n'est pas nul, le second membre diffère de 0 à 

 partir d'une valeur suffisamment petite de iu et l'intégrale curvi- 

 ligne n'est pas nulle. 



6. Le théorème de M. (kmrsat sur les intégrales de fonctions 

 moiu^éiM'- peut être considéré comme une conséquence du 

 précédent. 



Soit, en effet, 



%■*+*■+ fi, f(z)= P + Qt. 



La condition^que /"(:) ait une dérivée unique^au poinM, . y) 

 point (x,y) et qu'on ait 



