quelconque dos (onctions IJU est composée sous forme entière 

 avec les produits qui restent finis : 



(K - f*t>Wi = (fat — fat)<W t , etc. 



Donc les l'ourlions 01' restent linies au voisinai;'!' do ... a n . 



Ces fonctions n'ont donc pas d'autres points critiques que les 

 pôles de O, l'Vst-ii-dire ceux de 



d'ordre n au plus. En elfel, si m, tend vers l'un a de ces pôles, 

 U et (m — a)»(J restent finis, donc leur produit (U — a) >l 01" aussi. 

 Donc a est un point ordinaire de ce produit, et, par conséquent, 

 un pôle de QU d'ordre n au plus (ou, exceptionnellement, un 

 point ordinaire). 



11 résulte de là que 01* est une fonction elliptique. Elle reprend 

 la même valeur aux mêmes points «„ u 2 , ... u m que f. Enfin elle 

 a les mêmes pôles, et ils sont d'ordre n au plus. Donc, en vertu 

 du théorème I, Of est un polynôme en /', de degré n au plus. 



La démonstration du théorème II est maintenant aisée. Elle 



(<p«, — q> 1 )(cpi/ J — <p t ) •■• (<pw, — qp m ) = 0. 



Multiplions-la par O et effectuons les multiplications; il vient 



Oqp™ — (QU,)^ - 1 + ••• ± (OUm) = 0. 



Le premier membre est un polynôme de degré m en cp dont les 

 coefficients sont des polynômes de degré n en f, ce qui prouve le 



Les calculs que nous venons de faire supposent que les pôles 

 de /"sont simple-. S'il en était autrement, on remplacerait /"par 

 une fonction du même ordre 



où X est une constante, choisie de manière quef— X ait ses 



