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plans, Archimède avait cru devoir rappeler quelques théorèmes 

 démontrés dans la théorie de la parabole ; à son exemple, délia 

 Faille rappelle ici trois propositions, connues, dit-il, par les 

 mathématiciens, et dont il suppose la démonstration faite dans la 

 théorie des coniques. 11 s'agit des polygones inscrits régulière- 

 ment, et des segments définis dans l'énoncé. 



1) Si l'on joint, deux à deux, les sommets équidistants de la 

 corde du segment, les droites qui les joignent sont parallèles à 

 la corde, et divisées en deux parties égales par le diamètre du 

 segment. 



2) Les droites de jonction (parallèles aux cordes), qui se corres- 

 pondent, dans le segment elliptique et le segment circulaire, sont 

 proportionnelles aux cordes des deux segments. 



3) Les segments étant proportionnels aux ligures entières, les 

 diamètres des serments sont proportionnels aux diamètres entiers. 



Sous une forme plus moderne, les deux derniers théorèmes 

 pourraient s'énoncer comme suit : Les ordonnées de l'ellipse pro- 

 jetée sont à celles du cercle projetant, dans le rapport de la corde 

 de l'ellipse à la corde du cercle ; et les pieds de ces ordonnées 

 divisent les diamètres respectifs en parties proportionnelles. 



La démonstration est fort courte ; Fauteur indique très nette- 

 ment la marche à suivre, mais sans effectuer toutes les transfor- 

 mations de proportions intermédiaires. Voici ce raisonnement 

 dans ses grandes lignes : 



Considérons deux trapèzes, qui se correspondent. Leurs centres 

 de gravité divisent les droites qui joignent les milieux des hases 

 parallèles en parties proportionnelles. Les centres de gravité des 

 triangles divisent de même les médianes en parties proportion- 

 nelles. Donc, à cause du lemme 3 ci-dessus, les centres de gravité 

 de toutes ces figures divisent leurs diamètres respectifs en par- 

 ties proportionnelles. 



«■roupunv maintenant, par deux, les trapèzes adjacents ; et les 



centres de gravit»' de ces groupes ; ils diviseront de nouveau leurs 



Kn continuant à grouper de même par deux, les ensembles 

 obtenus et ainsi de suite, on finit par arriver aux centres de gra- 

 vité des deux polygones, qui divisent, eux aussi, leurs diamètres 



