﻿SÛR CERTAINES VIBRATIONS D^ORDRE SUPERIEUR^ ETC. ^57 



Il est donc à prévoir que les déveloj^j^ements en séries (1), représentés 

 maintenant par les équations (3S)^ perdent leur validité. 



C'est en effet ce qui a lieu; toutefois^ conformément à ce qui a été 

 remarqué au § 30^ il est possible d'obtenir^ par Tadj onction de termes 

 à sinus^ des expressions qui satisfont à Téquation (3) jusque et y com- 

 pris les termes d'ordre li^', et auxquelles il n'est donc certainement pas 

 nécessaire d'ajouter d'autres termes du même ordre de grandeur. 



Le 2:)endule sphérique appartient donc aux mécanismes d'exception. 



C'est ce que nous allons montrer plus explicitement en peu de mots. 



34. En prenant pour origine d'un système de coordonnées orthogo- 

 nales le point le plus bas et pour axe des Z l'axe^ supposé vertical^ de 

 révolution^ on peut écrire comme il suit l'équation de la surface de 

 révolution 



(39) , = <,(^2+/) + S(^2_^^2)2+.... 



DonC;, en posant égale à l'unité la masse du point matériel : 



(40) r= ,.^7 (..2+/) + (^-2 +/) 2 +. . . . 



De plus^ on a jusque et y compris les termes de quatrième ordre : 



(41) T = è + _^ ^2) = 1 [(1 + 4 ^2 ^2) i,2 _^ (1 _[_ 4 ^2 ^2) Ijl _^ 



xy X 'y\, 



Les équations de Lagrange^ en y comprenant encore les termes du 

 troisième ordre_, deviennent donc : 



I'x -[-%agx-\-4tbgx^-{-4ibg xy^ -\- 4ia'^x x? -\- 4i a"^ x y^ -\- 

 -\- 4} x"^ x -\- ^ ci^ X y y =0^ 

 y+^agy + i^ h g y"- g y x"^ + ^ a? y 'y^ -f 4 a"^ y ^;2 -f 



-|- 4 ^2 ^2 ^ _|_ a y XX = 0. 



On peut satisfaire à ces équations^ en posant ^) : 



(43) X = Ah cos (jp + Bh cas \p -|- • • • ^ 



(44) y == Ah siu (jp — Bh siu ;p -}-... 



^) 11 en résulte que dans le spectre du pendule sphérique apparaîtront comme 

 lignes d'intensités maxima deux raies, qui, situées très près l'une de l'autre, s'écarte- 

 ront lentement à intensité croissante du mouvement, et au contraire approcheront 

 de plus en plus à la coïncidence à mesure que l'intensité diminue. 



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