﻿258 



D. J. KOETEWEG 



(ib) <f=V %ag (1 + p B) ^ + / ; = \ ' 2«i, (1 + 2 W^) t + f.; 



où_, dans (43) et (44) ou n'aura jjas besoin d'ajouter d'autres ternies de 

 Tordre h'- 



Pour le yérifier^, posons : 



(46) u = Ah cos (f) ■ — Bk cos ■1' ; v = A/i sin cp -\- Bli sin -ii. 



Nous 2^ouvons alors remarquer qu'on aura;, en première approxi- 

 mation : 



(48) ., 



(47) À- = — V ^ag. '0',y~ V ^ag. w, Iv = ■ — ^agx; 'y = — %ag y. 



On peut appliquer^ dans Téquation (42)^, cette a23proximation en toute 

 sécurité aux termes du troisième ordre; on obtient ainsi: 



Vx-Y^ag x-^^.g{lJ-'^c^) x (x!^ + y'^) + 'èa^gx [u'^ + ?;2) = 0, 



+ 2 « + % (S - 2 «') y (..2 + y2) + 8 «Vy + = 0. 



Or^, on a de plus : 



(49) f = (^2 _|_ ^2) ^2 ^2 ÂB h'" cos [cp + ^^), 



(50) n'- + ^2 = ^2 ^2) 7,2 —^AB h'- cos (9 + û^). 



Multi2:)lions ces expressions par x et y, et remarquons en môme temps 

 que Tapparition de termes à cos (2g) -[- -Jj) et cos {cp -f- 2-^) nous peut 

 être indifférente parce qu'ils ne conduisent pas à des vibrations de rela- 

 tion '^), de sorte qu'ils peuvent être écartés en ajoutant à (43) et (44) 

 des termes de troisième ordre. On trouvera 



IX [a^ +y^) = A [A^ + 2 B'^) P coscp + B (2 A'- + B'~) h ' cos -J. + 

 (.J!/ i^^^' + f) = A [A^ + 2 ^2) p ,1, ^. _ B (2 + B^-) P sin + 

 ^ '\x{2fi+_v'~)= A'Pcoscp + B''Pcos-l + .., 



\ y [u"^ -\- fi^) = A^h^slucp — B^ P s'm^p -\- 



De plus on a,, jusque et y compris le troisième ordre : 

 ^^^■^ \x = ■ — -2 a gx — 2 A p .2 ag . /i^' cos cp — 2 B q .2 a g . cos 'i>, 

 })'/ ■= — 2 a g y — 2 Ap .2 a g .h sin cp-\-2 B q .2 ag . P sin -p. 



Si l'on substitue tout ceci dans l'équation (48) et que l'on égale à 



') De pareils termes ne peuvent pas iiaîlre, comme nous Tavons remarqué déjà 

 au § 27, de termes d'ordre supérieur au troisième. 



^) La non-apparition de termes à co.s (24) — 4^) et cos {<p — 2^1'), qui de leur côté 

 appartiennent aux vibrations de relation, est la cause même du succès de la sub- 

 stitution. 



