LA MÉTHODE DE DARBOUX, ETC. 



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se compose de 6 équations à 7 variables indépendantes ; 

 de sorte que la solution générale ne peut être obtenue. 

 Mais si le système admet pour une des valeurs de m deux 

 combinaisons intégrables, u — ci et v = C2, alors u = cp (v) est 

 une équation différentielle partielle du second ordre avec une 

 fonction arbitraire, qui existe simultanément avec f=0. S[ 

 l'on peut trouver aussi pour la seconde valeur de m deux 

 combinaisons intégrables analogues, alors le problème est résolu. 



Mais si tel n'est pas le cas, on pourra former de semblables 

 systèmes où entreront les dérivées du 3e ordre de x et de y 

 par rapport à z. Ce nouveau système pourra admettre alors 

 quelques combinaisons intégrables. S'il n'en était pas ainsi on 

 pourrait avoir recours aux dérivées du 4e ordre, et ainsi de suite. 



La seconde méthode dont- M. Darboux fait mention dans 

 son travail, pour déterminer des équations aux dérivées par- 

 tielles du second ordre et d'ordre plus élevé, satisfaites par 

 l'intégrale générale de l'équation donnée, conduit plus rapide- 

 ment au but. 



Il pose le problème suivant: 

 Trouver une équations différentielle v — a du ne ordre, ad- 

 mettant, en commun avec la proposée 1 ), une solution contenant 

 au moins une fonction arbitraire," et il continue comme suit : 



„Pour cela, il suffit de remarquer que la proposée, différentiée 

 n — 1 fois, donne n équations contenant les dérivées d'ordre 

 n -+- 1 , au nombre de n -h 2. L'équation v = a, différentiée suc- 

 cessivement par rapport à x et à y ) donne deux équations con- 

 tenant, elles aussi, les dérivées d'ordre n + 1. On a donc en 

 tout n -h 2 équations, contenant linéairement les dérivées d'ordre 

 n -h 1, et qui déterminent ces n + 2 dérivées en fonction des 

 dérivées d'ordre inférieur, si les deux équations différentielles dont 

 on cherche la solution commune sont prises arbitrairement. Mais 

 ici cela ne doit pas être ; sans cela les dérivées d'ordre supé- 

 rieur à n -{- 1 se détermineraient toutes, comme les dérivées 



!) Du 2e ordre / = 0.. 



