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H. A. W. SPECKMAN. 



d'ordre n + 1, en fonction des dérivées d'ordre moindre, puis- 

 qu'une fois obtenues toutes les dérivées d'ordre n + 1 en fonction 

 des dérivées d'ordre inférieur, on n'aurait qu'à déterminer 

 toutes les équations qui donneraient chacune de ces dérivées 

 pour avoir les dérivées d'ordre supérieur; et la solution com- 

 mune, si elle existait, ne pourrait contenir tout au plus qu'un 

 nombre limité de constantes arbitraires. Il faut donc que ces n + 2 

 équations, contenant linéairement les n + 2 dérivées d'ordre 

 n + 1, forment un système indéterminé, ce qui donne deux équa- 

 tions de condition. Comme deux des équations contiennent les 



^ . , , 'dv'èv'èv'èv'èv _ _ , 4 



dérivées dev, ^ , — , — , —, — .... les relations décou- 

 lé x d y 9 ^ z ^p ï q 



dition doivent être considérées comme deux équations aux 

 dérivées partielles du premier ordre auxquelles doit satisfaire 

 la fonction v. Ces équations sont homogènes et du second 

 degré par rapport aux dérivées." Voilà ce que dit M. D a r b o u x 

 de sa seconde méthode. 



Examinons maintenant le rapport qui existe entre les équa- 

 tions, obtenues par la première et la seconde méthode, et aux- 

 quelles se réduit l'intégration de f = 0. Nous verrons que ces 

 équations, obtenues par l'une et l'autre méthode, sont iden- 

 tiques, et peuvent se transformer l'une dans l'autre. 



§2. 



Soit encore l'équation aux dérivées partielles du second ordre 



f(x,y,z,p,q,r,s,t) = 0, (J ). 



et soit v = a une nouvelle équation différentielle du 2e ordre, 

 qui ait avec l'équation donnée une solution commune et 

 une fonction arbitraire au moins. Tâchons maintenant de 

 déterminer une telle équation selon la deuxième méthode de 

 Dar boux. 



A cet effet, différentions une seule fois les équations / = 0 

 et v = a aussi bien par rapport à x que par rapport ky; 

 nous obtiendrons 



